Выражение 有り難い [ありがたい (аригатай)] имеет значения:

1. благодарный; признательный;
2. желанный; уважаемый; ценимый; заслуживающий благодарности, признательности;

и состоит из следующих кандзи и сочетаний:

• 有り [あり (ари)]: существование;
• 難い [かたい (катай)]: сложный; трудный; тяжёлый;

Тип:

Формы прилагательного:

• Атрибутивная формаАтрибутивная (определительная) форма прилагательного 連体形 [れんたいけい (рэнтайкэй)] применяется вместе с существительным для указания, определения какой-либо его характеристики: 暑い日 (ацуй хи) - "жаркий день": ありがたい (аригатай);
• Заключительная формаЗаключительная (терминальная) форма прилагательного 終止形 [しゅうしけい (сю:усикэй)] применяется в утверждениях: 日は暑い (хи ва ацуй) - "день является жарким": ありがたい (аригатай);
• Длительная (непрерывная) форма: ありがたく (аригатаку);
• Наречная формаНаречная форма прилагательного 連用形 [れんようけい (рэнъё:кэй)]: 暑い (ацуй) - "жаркий, горячий"; 暑く (ацуку) - "жарко, горячо": ありがたく (аригатаку);
• Несовершенная формаНесовершенная форма прилагательного 未然形 [みぜんけい (мидзэнкэй)] указывает, что предмет ещё не обладает данным признаком: 暑い (ацуй) - "жаркий, горячий"; 暑かろ (ацукаро) - "ещё не жаркий (горячий)": ありがたかろ (аригатакаро);
• Условная (гипотетическая) формаУсловная (гипотетическая) форма прилагательного 仮定形 [かていけい (катэйкэй)] образует фразу построенную на предположении: 暑い (ацуй) - "жаркий, горячий"; 暑けれ (ацукэрэ) - "если будет жарко": ありがたけれ (аригатакэрэ);
• Повелительная (императивная) формаПовелительная (императивная) форма прилагательного 命令形 [めいれいけい (мэйрэйкэй)]: 暑い (ацуй) - "жаркий, горячий"; 暑かれ (ацукарэ) - "жарче, горячее": ありがたかれ (аригатакарэ);
• Простая форма прошедшего времени: ありがたかった (аригатакатта);
• Простая отрицательная форма непрошедшего времени: ありがたく(は)ない (аригатаку (ва) най);
• Простая отрицательная форма прошедшего времени: ありがたく(は)なかった (аригатаку (ва) накатта);
• Вежливая форма непрошедшего времени: ありがたいです (аригатай дэсу);
• て-форма: ありがたくて (аригатакутэ);
• Условное наклонение: ありがたければ (аригатакэрэба);
• Условное предварительное наклонение: ありがたかったら (аригатакаттара);
• Вероятностная (волевая) формаВероятностная (волевая) форма прилагательного 未然形 [みぜんけい (мидзэнкэй)] подчёркивает, что утверждение является предположением, а не истиной: 暑い (ацуй) - "жаркий, горячий"; 暑かろう (ацукаро:) - "возможно жаркий (горячий)". Также данной формой обозначается желание, запрос чего-либо: 良かろう (ёкаро:) - "хорошо, OK" ("пусть будет хорошо"). Поэтому её можно назвать также желательной, волевой (выражение воли говорящего).: ありがたかろう (аригатакаро:);
• Наречное наклонение: ありがたく (аригатаку);
• Степень, качество (-ость, -ство): ありがたさ (аригатаса);

Альтернативные записи:

• 有難い