Выражение 病気になる [びょうきになる (бё:кининару)] имеет значения:

1. заболеть; подхватить болезнь;

и состоит из следующих кандзи и сочетаний:

• 病気 [びょうき (бё:ки)]: болезнь;
• に: 1) к; по направлению к; 2) в (указатель места действия); 3) с помощью; посредством (указатель объекта с помощью которого было осуществлено действие); 4) для; чтобы (указание цели, причины выполнения действия); 5) образует наречия из существительных;
• な: 1) придаёт эмоциональность, либо делает акцент на сказанном; 2) преобразует (некоторые) существительные (квази-прилагательные) в な-прилагательные; 3) запрет действия (после словарных форм глаголов описывающих соответствующее действие); 4) образование повелительной формы, команды (сокращённая форма なさい; как правило, присоединяется к основе глагола);